주파수 해석의 원리

우리가 평소에 신호를 볼 때는 보통 시간에 따른 파형으로 이해합니다.

예를 들어 오디오 신호라면, 마이크로폰이 받아들인 진폭이 시간이 흐르면서 위아래로 변하는 그래프가 가장 먼저 떠오르죠.

하지만 이렇게 시간 영역(Time Domain)에서만 신호를 해석하는 데에는 한계가 있습니다.

 

음악 소리를 생각해봅시다.

단순히 시간에 따른 진폭 곡선만 본다면, “여기서 소리가 커졌다/작아졌다” 정도만 알 수 있을 뿐,

그 속에 어떤 음(저음, 중음, 고음)이 섞여 있는지는 잘 보이지 않습니다.

따라서 우리는 신호를 좀 더 근본적인 성분인 주파수(Frequency) 관점에서 바라볼 필요가 있습니다.

 

사인파와 복잡한 신호

신호 해석에서 가장 기본이 되는 것은 사인파(sinusoidal wave)입니다.
사인파는 단순하면서도, 모든 주기적 파형의 기본 블록이라고 할 수 있습니다.

y(t)=Asin(2πft+θ)

 

여기서

A는 진폭 (얼마나 큰가),

f는 주파수 (얼마나 자주 반복되는가),

θ는 위상 (어디서 시작하는가)를 의미합니다.

 

그런데 실제 신호는 대부분 이렇게 단순하지 않습니다.

목소리, 음악, 영상 신호 모두 하나의 사인파로는 설명이 불가능합니다.

대신, 여러 개의 사인파가 서로 합쳐져 만들어진 복잡한 파형이라고 볼 수 있습니다.

즉, 주기적 파형의 기본 블록인 [ y(t)=Asin(2πft+θ) ]에서 뻗어나온 여러개의 사인파의 시그마 입니다.

 

푸리에 정리: 모든 신호는 사인파들의 합

여기서 등장하는 것이 푸리에 정리(Fourier Theorem)입니다.
푸리에 정리는 "모든 주기적 파형은 적절한 진폭·주파수·위상을 가진 사인파들의 합으로 표현할 수 있다”는 내용을 담고 있습니다.

즉, 아무리 복잡한 신호라도 결국 여러 개의 단순한 사인파가 겹쳐진 결과물일 뿐이라는 거죠.

 

• 가장 낮은 주파수 성분은 기본파(fundamental wave),
• 그 배수에 해당하는 성분들은 고조파(harmonics),
• 전체를 모아놓은 것을 스펙트럼(spectrum)이라고 부릅니다.

 

음악에서 “화음”이 여러 개의 음을 동시에 낸 것이라면,

신호에서의 스펙트럼은 여러 주파수가 동시에 존재하는 상태라고 이해하면 쉽습니다.

 

오일러 공식: 삼각함수와 지수함수의 만남

푸리에 해석을 수학적으로 가능하게 해주는 도구는 바로 오일러 공식(Euler’s Formula)입니다.

ejθ=cosθ+jsinθ

 

여기서 j는 복소수(허수)입니다.

이 식은 삼각함수(사인, 코사인)를 복소수 지수함수로 표현할 수 있게 해줍니다.

덕분에, 진폭과 위상을 하나의 복소수로 다룰 수 있고, 복잡한 계산이 훨씬 단순해집니다.

실제로 신호 처리(DSP)에서 오일러 공식은 빠지지 않고 등장하는 핵심 공식입니다.

 

푸리에 급수와 푸리에 변환

푸리에 정리를 실제로 적용하는 방식은 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다.

1. 푸리에 급수 (Fourier Series)

• 주기적 신호에 적용.
• 신호를 여러 고조파 성분의 합으로 분해.
• 결과적으로 이산적(discrete) 스펙트럼을 얻음.
• 예: 사각파(square wave)는 무수히 많은 홀수 배 고조파의 합으로 표현 가능.

 

2. 푸리에 변환 (Fourier Transform)

• 현실 세계의 대부분 신호는 반복되지 않음(비주기적).
• 따라서 푸리에 급수의 한계를 확장한 개념.
• 주기가 무한대로 커진 경우, 예를들어 1만년 주기라면, 우리가 볼 때는 비주기적일 수 있어도, 사실 주기적인 것이 아닐까?
• 합(Σ)이 적분(∫)으로 바뀌어 모든 주파수를 연속적으로 다룰 수 있게 됨.
• 결과적으로 연속적(continuous) 스펙트럼을 얻음.

 

푸리에 급수 vs 푸리에 변환

구분	푸리에 급수 (Fourier Series)	푸리에 변환 (Fourier Transform)
적용 대상	주기적 신호	비주기적 신호
스펙트럼	이산적 (고조파 성분들)	연속적 (모든 주파수)
수학적 표현	합(Σ)	적분(∫)

정리하자면, 주파수 해석은 신호를 시간의 흐름으로만 보는 대신,

그 속에 숨겨진 주파수 성분을 드러내는 방법입니다.

 

• 푸리에 정리: 모든 신호는 사인파의 합으로 표현된다.
• 오일러 공식: 복잡한 삼각함수를 지수함수로 간단히 표현할 수 있다.
• 푸리에 급수: 주기적 신호를 주파수 성분으로 해석.
• 푸리에 변환: 비주기적 신호까지 확장, 모든 신호를 시간 ↔ 주파수 양쪽에서 자유롭게 분석 가능.

결국, 우리가 듣는 음악이나 보는 영상, 혹은 네트워크 신호 모두를 “어떤 주파수가 얼마나 섞여 있는가”라는 관점에서 바라볼 수 있게 되는 것입니다.